几个经典的博弈问题

有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个 人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏 ，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够 取胜。 （一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规 定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。 显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个， 后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果 n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走 k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的 取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。 这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十 个，谁能报到100者胜。 （二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同 时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示 两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们 称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6， 10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。 可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有 如下三条性质： 1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。 由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak -1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。 2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。 事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其 他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由 于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。 3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。 假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了 奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局 势；如果 a = ak ， b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局 势（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余 的数量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k） ,从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - a j 即可。 从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜 ；反之，则后拿者取胜。 那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式： ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数) 奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk组成的矩形近 似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[ j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1 + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异 局势。 （三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的 物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首 先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是 （0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一 下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情 形。 计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示 这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结 果： 1 =二进制01 2 =二进制10 3 =二进制11 （+） ——————— 0 =二进制00 （注意不进位） 对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。 任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。 如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b < c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+） b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（ a（+）b）即可。 例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达 到奇异局势（14，21，27）。 例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品 就形成了奇异局势（55，81，102）。 例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，4 5，48）。 例4。我们来实际进行一盘比赛看看： 甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势 乙:(1,8,9)->(1,8,4) 甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势 乙:(1,5,4)->(1,4,4) 甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势 乙:(0,4,4)->(0,4,2) 甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势 乙:(0,2,2)->(0,2,1) 甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势 乙:(0,1,1)->(0,1,0) 甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势 甲胜。